废柴蟹的PA研究

xiezhenggang

废柴蟹的PA研究

以下讨论基于《龙与地下城》核心规则3.5版，其中最重要的是这个专长：

猛力攻击（POWER ATTACK）[一般专长]
先决条件：力量13。
效果：当你动作时，在所有攻击检定之前，你可以选择让所有近战攻击减去特定数值，再将该数值加到所有近战伤害掷骰上。该数值不能超过你的基本攻击加值。攻击减值和伤害加值将持续到下轮动作之前。
特殊：如果你用双手武器攻击，或双手挥舞一把单手武器，伤害应加上两倍的攻击检定上减去的数值。在使用轻型武器时不能将猛力攻击中得到的加值加到伤害上（除了徒手击打或天生武器攻击之外），尽管攻击检定上的减值依然有效。（通常双头武器视为一把单手武器加一把轻型武器。如果你选择如同双手武器般使用双头武器，在一轮中仅用一头攻击，则其视为一把双手武器。）
战士可以选择本专长作为其战士奖励专长。

简单来说，就是以降低命中率为代价，提升伤害值，当你觉得“非常容易打中对手”且“每次命中所造成的伤害不够深”的时候，就该考虑这个使用这个专长了。基本上，这是每个冒险队伍主战力的必备能力，也是每个一线肉搏者的必修课题。作为力量型人物在制造大量伤害方面最有效的手段，猛力攻击（Power Attack，简称PA）开不开，开多少，相信是很多玩家头疼的问题，这里纯粹以数学角度进行分析，看看神秘的“理论最佳PA值”到底怎么算。

常用术语和简称：
猛力攻击：Power Attack，简称PA
攻击加值：Attack Bonus，简称AB
基本攻击加值：Base Attack Bonus，简称BAB
防御等级：Armor Class，简称AC
伤害值：Damage，简称DAM
平均命中次数：简称N，见下文

进入正题，面对不同的敌人，我们要怎样计算出自己的最佳PA值，用最有效的方式打击对手呢？

首先是攻击
要命中，先要突破对方的AC，也就是攻击检定（AB+投骰结果）要大于或等于对手的AC才能命中。假设AB等于+3，对方AC等于15，那么至少要投出12才能命中对手。假设总共投了20次，骰子结果从1到20，高于12的命中，共命中20-12次再加1次（算上12本身）。
还记得12是怎么来的吗？是AC-AB。由此得到公式：20-(AC-AB)+1。
换算一下就得到最简结果：20次攻击的平均命中次数N=AB-AC+21，命中率=N/20

然后是重击
假设武器的重击范围是20，倍数是3倍，在投出20（重击威胁）的那一次，又有同样的几率打出重击，造成3倍伤害。那么在400次的投骰中，总共命中了20*N次，其中20次重击威胁，N次重击成功，每次额外产生2倍伤害，400次合计造成20N+2N=22N倍伤害。
20次的实效命中=22N/400*20=1.1N=1.1(AB-AC+21)

如果是19-20/*2的武器呢？比如长剑？
把上述公式替换一些项目即可：在400次的攻击投骰中，共命中20*N次，其中40次重击威胁，2N次重击成功，每次额外造成1倍伤害，共计造成20N+2N=22N倍伤害。
结论：20/*3和19-20/2的武器平均实效是相同的，两种武器可以等效处理。其余武器可以类推。
不过提醒一点的是像弯刀、大刀这些重击威胁范围略大但基础伤害略低的武器，在一定范围内并没有优势。据对D&D设计者的访谈表示，当初由于设计者比较偏好长剑和战斧，所以其他武器原则上都以不超过这两类武器（含巨剑/巨斧等）的强度为基准。本文的数据也是以这两类武器为基准进行讨论。

最后是伤害
如果不开PA，400次的总伤害为DAM*22N；开了PA，命中率下降为N-PA，单手伤害提高为DAM+PA，双手伤害提高为DAM+2PA。
PA不能等于或大于N，否则命中率为0，攻击毫无意义。PA也不能小于0。
400次的总伤害为：单手22(DAM+PA)(N-PA)，双手22(DAM+2PA)(N-PA)。
在N固定，基础伤害固定，忽略单次投骰随机率的前提下，要让伤害最大，就要让变量的结果最大。
举例来说，假设平均伤害为5点，平均13次命中，400次的合计伤害为5*13*22=1430
如果开2点PA，单手伤害为22(5+2)(13-2)=1694，双手伤害为22(5+4)(12-2)=2178
如果开7点呢？单手伤害为22(5+7)(13-7)=1584，双手伤害为22(5+14)(12-7)=2090
计算结果，显然单手武器最合理的做法是开4点，让（伤害+PA）与（攻击-PA）的值相等或接近，结果为22(5+4)(13-4)=1782
双手伤害比较麻烦，公式为(5+2X)(13-X)，那么从开1点PA开始逐个计算：
1=84
2=99
3=110
4=117
5=120
6=119
7=114
8=105
显然，在开5点PA的时候达到最大值，400次攻击能造成的总伤害为：22*(5+10)(13-5)=2640

总结：
不知道该开几点PA的时候，就把伤害平均值与命中次数相比较，只要让两者相乘的结果尽量大就行了。
单手武器：让双方数值尽量相等，简单的计算方式就是（命中次数-伤害值）/2=最佳PA值。代换一下就是(N-DAM)/2=(AB-AC+21-DAM)/2
双手武器：伤害提升速度较快，所以计算麻烦点，公式为（伤害值+双倍PA值）（命中次数-PA值）的最大值，即公式(DAM+2PA)(N-PA)的最大值，用二次函数的顶点公式得到结果(2N-DAM)/4。

附：武器的平均伤害值计算
武器的伤害值=该武器的基础伤害+额外伤害+附加伤害
基础伤害就是武器本身的伤害值，也就是那些1D8、2D6之类，可以直接查相关资料；额外伤害是指包括力量加值、附魔加值等在内的能够在重击时翻倍的伤害；而附加伤害则包括炽焰、冻寒、电击等重击时不翻倍的元素伤害。只要把上述项目相加，就是武器的平均伤害值。

范例1：力量17的战士，修了专长“专精武器：长剑”，单手用+1炽焰长剑，则伤害为4.5（长剑的基础伤害1D8）+3（力量加值）+2（武器专精）+1（武器附魔）+3.5（附加1D6火焰伤害）=13
范例2：力量22的野蛮人，双手用+3电击冻寒巨斧，则伤害为6.5（巨斧的基础伤害1D12）+9（力量加值的1.5倍）+3（武器附魔）+7（2D6点额外元素伤害）=25.5

常见武器基础伤害平均值：
拳头        1D3        2.0
匕首        1D4        2.5
短剑        1D6        3.5
长剑        1D8        4.5
大刀        2D4        5.0
重剑        1D10        5.5
巨剑        2D6        7.0
巨斧        1D12        6.5

范例：
我们用核心规则书上的典型数据来作一个比较：

5级半兽人NPC野蛮人的典型数据为：
属性：力量18，敏捷14，体质13，智力8，感知12，魅力6
AC：18，接触12，措手不及18
基本攻击加值+5，攻击+11近战（1d12+6/*3，精制巨斧）
专长：武器专攻（巨斧），猛力攻击（《城主指南》原文为闪避，此处按需修改）
装备：+1胸甲，精制巨斧
狂暴后数据改为：攻击+13近战（1d12+9/*3，精制巨斧），AC16

5级大地精NPC战士的典型数据为：
属性：力量16，敏捷15，体质16，智力10，感知12，魅力8
AC：21，接触11，措手不及20
基本攻击加值+5，攻击+10近战（1D10+5/19-20，精制品重剑）
专长：擅长武器（重剑），精通先攻，猛力攻击，武器专攻（重剑），武器专精（重剑）
装备：全身甲，大钢盾，精制重剑

用我们上面的计算方式来衡量一下：
首先是狂暴前，野蛮人的平均伤害为12.5，命中次数为=11-21+21=11；
战士的平均伤害为10.5，命中次数为10-18+21=13
野蛮人用双手武器，伤害公式为(12.5+2PA)(11-PA)，从0开始逐个计算为
0=137.5
1=145
2=148.5
3=148
4=143.5
5=135
如果用公式计算就是(2*11-12.5)/4=2.375
开2到3点PA能得到最佳效果，有近一半机会能打出十七八点伤害。
战士用单手武器，计算就简单了，(13-10.5)/2=1.25，开1点PA比较合适，有六成左右的机会打出十一、二点伤害，再多就会导致命中率大幅下滑。

当野蛮人狂暴后，数据就变了：
野蛮人的平均伤害提高到15.5，命中次数成为13；战士的平均伤害仍然是10.5，命中次数提高到15。
野蛮人的伤害公式此时为(15.5+2PA)(13-PA)，从PA开0点开始：
0=201.5
1=210
2=214.5
3=215
4=211.5
用公式计算为(2*13-15.5)/4=2.625
可见适合的做法还是开2到3点PA，有一半机会打出20点以上的伤害。
而此时的战士，(15-10.5)/2=2.25，可以开到2点，命中率不降反升。

从以上结果得知，用单手武器时的PA是最好算的，
比如冲刺时AB+2，根据（命中次数-平均伤害）/2=PA值，攻击+2意味着命中次数+2，PA就可以多开1点。

如果攻击次数不止一次呢？
比如说，用单手武器，有2次攻击能力，第二次比第一次命中-5。注意降低的只有命中率，伤害是不变的。
不开PA的时候，伤害为DAM*N+DAM(N-5)；开了PA，则上述公式改为(DAM+PA)(N-PA)+(DAM+PA)(N-5-PA)，求公式的最大值。
化简为：(DAM+PA)(2N-2PA-5)，当DAM+PA=N-PA-2.5的时候，公式有最大值。
因此，2次攻击时的最佳PA公式为PA=(N-DAM-2.5)/2，代换一下就是(AB-AC-DAM+18.5)/2
举例来说，我的9级半兽人蛮战士，近战攻击+17（最低+8），平均伤害11.5点，对方AC在20左右。
命中次数N=17+21-20=18，单击最佳PA值=(N-DAM)/2=(18-11.5)/2=3.25；
全力攻击2次的最佳结果则是(N-DAM-2.5)/2=2；
而加速狂暴后，攻击+3，伤害+2，上述公式就要随之作出调整：
单击最佳PA=(N+3-DAM-2)/2=3.75
但是加速的额外攻击用最高攻击价值，所以实际平均伤害率也要修改一下：
2(DAM+PA)(N-PA)+(DAM+PA)(N-5-PA)=(DAM+PA)(2(N-PA)+(N-5-PA))=3(DAM+PA)(N-PA-5/3)
当DAM+PA=N-PA-5/3的时候，公式有最大值，即PA=(N-DAM-5/3)/2=(18+3-11.5-2-1.66)/2=2.92
所有情况以此类推：攻击加值每增加1点，PA增加0.5，伤害每增加1点，PA减少0.5。
因为PA不能开小数，而且单次攻击是否命中也要看随机投骰结果，所以上述计算不用过于精确，差不多就行。

这里有个很突出的问题，就是双手武器计算繁琐。而且战斗中由于BUFF的存在，双方数据经常变化，我们也未必能准确估算出每个对手的防御情况。不过好在这是条二次函数，从上面的计算过程也可以看出，越接近最佳点结果差异越小。考虑到我们平时游戏中，骰子也有很大的随机性，除非双方实力相差悬殊，准确的最佳PA值只有在海量测试的基础上才能体现出来。那么可行的做法之一就是根据自身实力，以3~5AC为一级，事先计算出一系列最佳值，列一个表格放在旁边备考。如果自身数据也经常变动，比如野蛮人狂暴前后，可能就要多花点时间列出两张表了。当然，如果你对二次函数的顶点公式比较熟悉，直接代入公式求解是最好不过的啦。除此之外，每轮平均总伤害值也是个很重要的参考数据。比如说，假设估算结果平均3轮能干掉一个怪物，但3轮的总伤害值超出该怪物的HP很多，就可以酌情降低PA值，降低伤害换取更稳定的命中率。

当然，最方便的办法还是到我的网站（http://cnfantasy.com）首页，用现成的“最佳PA值计算器”生成一张列表，然后打印出来。

公式计算：
下面是单手/双手武器的PA计算，求给定攻击加值和平均伤害值的最佳PA值。
这里面很重要的一个参数是N，也就是前述的AB+21-AC，平均20次攻击的命中次数。先根据自己的攻击加值，对应对手的AC，计算出N，再代入公式计算。
由于5级以后，加速作为最基本的常用战术之一，对战斗作用非常大，所以这里也列出加速后（攻击检定+1，全力攻击时攻击次数+1）的最佳PA公式。

单手武器：
基本计算如前所述，将公式整理为aPA*PA+bPA+c的格式，然后套用二次函数的顶点公式b/-2a，得到最佳PA值公式。并补上加速后的最佳PA值。

冲刺攻击：
伤害值：(DAM+PA)(N+2-PA)
换算得：-PA*PA+(N-DAM+2)*PA+N*DAM+2DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2+1
加速后：N=N+1，攻击次数不变
最佳PA值：(N-DAM)/2+1.5

一次攻击：
伤害值：(DAM+PA)(N-PA)
换算得：-PA*PA+(N-DAM)*PA+N*DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：2(DAM+PA)(N+1-PA)=-2PA*PA+(2N-2DAM+2)PA+2DAM*N+2DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2+0.5

二次攻击：
伤害值：(DAM+PA)(N-PA)+(DAM+PA)(N-5-PA)
换算得：(DAM+PA)(2N-2PA-5)=-2PA*PA+(2N-2DAM-5)*PA+2DAM*N-5DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2-1.25
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：2(DAM+PA)(N+1-PA)+(DAM+PA)(N+1-5-PA)=(DAM+PA)(3N-3PA-2)=-3PA*PA+(3N-3DAM-2)PA+3DAM*N-2DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2-1/3

三次攻击：
伤害值：(DAM+PA)(N-PA)+(DAM+PA)(N-5-PA)+(DAM+PA)(N-10-PA)
换算得：(DAM+PA)(3N-3PA-15)=-3PA*PA+3(N-DAM-5)PA+3DAM*N-15DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2-2.5
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：2(DAM+PA)(N+1-PA)+(DAM+PA)(N+1-5-PA)+(DAM+PA)(N+1-10-PA)=(DAM+PA)(4N-4PA-11)=-4PA*PA+(4N-4DAM-11)PA+4DAM*N-11DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2-11/8

四次攻击：
伤害值：(DAM+PA)(N-PA)+(DAM+PA)(N-5-PA)+(DAM+PA)(N-10-PA)+(DAM+PA)(N-15-PA)
换算得：(DAM+PA)(4N-4PA-30)=-4PA*PA+(4N-4DAM-30)PA+4DAM*N-30DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2-3.75
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：2(DAM+PA)(N+1-PA)+(DAM+PA)(N+1-5-PA)+(DAM+PA)(N+1-10-PA)+(DAM+PA)(N+1-15-PA)=(DAM+PA)(5N-5PA-25)=-5PA*PA+(5N-5DAM-25)PA+5DAM*N-25DAM
最佳PA值：(N-DAM)/2-2.5

总结：单手武器攻击最佳PA值根据上述公式计算，若有数据变化，则攻击加值每提高1，最佳PA值+0.5；伤害每提高1，最佳PA值-0.5。

双手武器：
如单手武器，先将算式统一列成aPA*PA+bPA+c的格式，然后套用二次函数的顶点公式b/-2a，得到最佳PA值公式。同样列出加速后的最佳PA值。

冲刺攻击：
伤害值：(DAM+2PA)(N+2-PA)
换算得：-2PA*PA+(2N-DAM+4)*PA+DAM*N
最佳PA值=(2N-DAM)/4+1
加速后：N=N+1，攻击次数不变
换算得：(DAM+2PA)(N+2+1-PA)=-2PA*PA+(2N-DAM+6)*PA+DAM*N
最佳PA值=(2N-DAM)/4+1.5

一次攻击：
伤害值：(DAM+2PA)(N-PA)
换算得：-2PA*PA+(2N-DAM)*PA+DAM*N
最佳PA值=(2N-DAM)/4
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：2(DAM+2PA)(N+1-PA)=-4PA*PA+(4N-2DAM+4)*PA+2DAM*N
最佳PA值=(2N-DAM)/4+0.5

两次攻击：
伤害值：(DAM+2PA)(N-PA)+(DAM+2PA)(N-PA-5)
换算得：-4PA*PA+(4N-2DAM-10)*PA-DAM*(2N-5)
最佳PA值=(2N-DAM)/4-1.25
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：2(DAM+2PA)(N+1-PA)+(DAM+2PA)(N+1-PA-5)=-6PA*PA+(6N-3DAM-10+6)PA+3DAM*N-5DAM
最佳PA值=(2N-DAM)/4-1/3

三次攻击：
伤害值：(DAM+2PA)(N-PA)+(DAM+2PA)(N-PA-5)+(DAM+2PA)(N-PA-10)
换算得：-4PA*PA+(4N-2DAM-20)PA+DAM*(2N-10)
最佳PA值=(2N-DAM)/4-2.5
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：2(DAM+2PA)(N+1-PA)+(DAM+2PA)(N+1-PA-5)+(DAM+2PA)(N+1-PA-10)=-8PA*PA+(8N-4DAM-30+8)PA+4DAM*N-15DAM
最佳PA值=(2N-DAM)/4-7/6

四次攻击：
伤害值：(DAM+2PA)(N-PA)+(DAM+2PA)(N-PA-5)+(DAM+2PA)(N-PA-10)+(DAM+2PA)(N-PA-15)
换算得：-4PA*PA+(4N-2DAM-30)PA+DAM*(2N-15)
最佳PA值=(2N-DAM)/4-3.75
加速后：N=N+1，最高加值的攻击次数+1
换算得：(DAM+2PA)(N+1-PA)+(DAM+2PA)(N+1-PA-5)+(DAM+2PA)(N+1-PA-10)+(DAM+2PA)(N+1-PA-15)=-10PA*PA+(10N-5DAM-60+10)PA+5DAM*N-30DAM
最佳PA值=(2N-DAM)/4-2

总结：双手武器攻击最佳PA值根据上述公式计算，若有数据变化，则攻击加值每提高1，最佳PA值+0.5；伤害每提高1，最佳PA值-0.25。

范例：
一个BAB+10的蛮战士，攻击加值+22，双手武器单次平均伤害为23，全力攻击能攻击2次，加速后3次。
那么代入上述公式：
N=AB-AC+21=22+21-AC=43-AC
DAM=23

非加速状态：
冲刺伤害=(DAM+2PA)(N+2-PA)/20
冲刺最佳PA值=(2N-DAM)/4+1
全力攻击伤害值=((DAM+2PA)(N-PA)+(DAM+2PA)(N-PA-5))/20
全力攻击最佳PA值=(2N-23)/4-1.25

加速后：
冲刺伤害：(DAM+2PA)(N+2+1-PA)/20
冲刺最佳PA值：(2N-DAM)/4+1.5
全力攻击伤害值：(2(DAM+2PA)(N-PA+1)+(DAM+2PA)(N-PA-5+1))/20
全力攻击最佳PA值=(2N-23)/4-1/3

对照“附表：范例人物最佳PA值”，根据对手AC的估算值选择最佳PA值。
注意表中部分数据并无实际意义，因为PA值的上限是人物的基本攻击加值（开满），而下限则是0（完全不开）。此外D20的极限值是出20必中和出1必不中，换句话说就是“不出1就能命中”和“出20才能命中”。在这种极限情况下，最佳的做法都一样，都是把PA开到最大。

特别鸣谢：Inthel在本文写作中给我的支持和鼓励，并帮我设计了最佳PA值的简易计算器。可以到我的网站“老谢的奇幻小屋”（http://cnfantasy.com）首页，填写你的攻击加值、平均单击伤害值和基本攻击加值，获得相应的数据表格（可直接打印）。

xiezhenggang于2006年5月26日2时45分第1稿
xiezhenggang于2006年5月27日2时40分第2稿
xiezhenggang于2006年5月28日1时26分第3稿


附表：范例人物最佳PA值
对手AC        非加速状态        加速状态
        冲刺最佳PA值        冲刺理论伤害值        全力攻击最佳PA值        全力攻击理论伤害值        冲刺最佳PA值        冲刺理论伤害值        全力攻击最佳PA值        全力攻击理论伤害值
                                                               
5        14.25        66.31        12.00        110.45        14.75        68.91        12.92        178.85
6        13.75        63.76        11.50        105.80        14.25        66.31        12.42        171.60
7        13.25        61.26        11.00        101.25        13.75        63.76        11.92        164.50
8        12.75        58.81        10.50        96.80        13.25        61.26        11.42        157.55
9        12.25        56.41        10.00        92.45        12.75        58.81        10.92        150.75
10        11.75        54.06        9.50        88.20        12.25        56.41        10.42        144.10
11        11.25        51.76        9.00        84.05        11.75        54.06        9.92        137.60
12        10.75        49.51        8.50        80.00        11.25        51.76        9.42        131.25
13        10.25        47.31        8.00        76.05        10.75        49.51        8.92        125.05
14        9.75        45.16        7.50        72.20        10.25        47.31        8.42        119.00
15        9.25        43.06        7.00        68.45        9.75        45.16        7.92        113.10
16        8.75        41.01        6.50        64.80        9.25        43.06        7.42        107.35
17        8.25        39.01        6.00        61.25        8.75        41.01        6.92        101.75
18        7.75        37.06        5.50        57.80        8.25        39.01        6.42        96.30
19        7.25        35.16        5.00        54.45        7.75        37.06        5.92        91.00
20        6.75        33.31        4.50        51.20        7.25        35.16        5.42        85.85
21        6.25        31.51        4.00        48.05        6.75        33.31        4.92        80.85
22        5.75        29.76        3.50        45.00        6.25        31.51        4.42        76.00
23        5.25        28.06        3.00        42.05        5.75        29.76        3.92        71.30
24        4.75        26.41        2.50        39.20        5.25        28.06        3.42        66.75
25        4.25        24.81        2.00        36.45        4.75        26.41        2.92        62.35
26        3.75        23.26        1.50        33.80        4.25        24.81        2.42        58.10
27        3.25        21.76        1.00        31.25        3.75        23.26        1.92        54.00
28        2.75        20.31        0.50        28.80        3.25        21.76        1.42        50.05
29        2.25        18.91        0.00        26.45        2.75        20.31        0.92        46.25
30        1.75        17.56        -0.50        24.20        2.25        18.91        0.42        42.60
31        1.25        16.26        -1.00        22.05        1.75        17.56        -0.08        39.10
32        0.75        15.01        -1.50        20.00        1.25        16.26        -0.58        35.75
33        0.25        13.81        -2.00        18.05        0.75        15.01        -1.08        32.55
34        -0.25        12.66        -2.50        16.20        0.25        13.81        -1.58        29.50
35        -0.75        11.56        -3.00        14.45        -0.25        12.66        -2.08        26.60
36        -1.25        10.51        -3.50        12.80        -0.75        11.56        -2.58        23.85
37        -1.75        9.51        -4.00        11.25        -1.25        10.51        -3.08        21.25
38        -2.25        8.56        -4.50        9.80        -1.75        9.51        -3.58        18.80
39        -2.75        7.66        -5.00        8.45        -2.25        8.56        -4.08        16.50
40        -3.25        6.81        -5.50        7.20        -2.75        7.66        -4.58        14.35
41        -3.75        6.01        -6.00        6.05        -3.25        6.81        -5.08        12.35
42        -4.25        5.26        -6.50        5.00        -3.75        6.01        -5.58        10.50
43        -4.75        4.56        -7.00        4.05        -4.25        5.26        -6.08        8.80
44        -5.25        3.91        -7.50        3.20        -4.75        4.56        -6.58        7.25
45        -5.75        3.31        -8.00        2.45        -5.25        3.91        -7.08        5.85
本表格由 CNFantasy 与 T.R.O.W. 联合发布的 PAcalculator 生成。
PAcalculator开发人员：xiezhenggang（提供算法），inthel（编写程序）。目前版本序号为060528。

zhlarrow

谢老大又岂是一个“强”字了得！